欧拉变形场是材料有限弹性和非弹性变形连续建模的重要组成部分;然而，它与更精细的描述水平之间的关系尚未确定。本文从组成微观粒子的排列角度给出了欧拉扭曲场的定义，这不仅有利于基础研究，也有利于分子动力学模拟等计算机模拟分析。利用粗粒化和非平衡态热力学，详细研究了欧拉扭曲场的动力学，并将其与粒子的基本动力学联系起来。首先，恢复畸变的通常运动学和已知的柯西应力张量表达式。其次，发现自然构形下的曼德尔应力和塑性变形速率张量构成了与变形松弛相关的力-通量对。最后，通过两个例子说明了该方法，即在非晶固体和具有一滑移系统的结晶固体上。

　　由于现在的实验技术揭示了亚微米尺度上材料(例如，细胞[1])的特性，因此需要一个可靠的理论来描述这种现象。虽然原子模拟仍然不能在足够长的时间内描述这种尺度上的观察结果，但连续体方法却过于粗糙，因为它们无法描述实验中观察到的波动，例如在生物膜上[2]。目前的手稿提供了一个理论适合这样的尺度，通过提供弹性扭曲的原子定义，以及它的可逆，不可逆和随机动力学。

　　几乎所有材料都具有固有的非弹性特性。虽然这种行为的原因在材料之间有很大的不同，但也有共同的方面，特别是当涉及到建模方法的一般结构时。原则上，当前应力状态取决于施加变形的整个历史(例如，通过记忆函数/核)，这是在玻尔兹曼用于描述线性粘弹性的叠加原理[3,4]的基础上。但是，如果非线性起作用，则通常采用不同的方法。一种突出的替代方法是将总变形分解为其弹性和非弹性贡献。在固体领域，这是通过对总变形梯度的乘法分解来实现的，根据Kr?ner[5]和Lee和Liu[6,7]，这是有限变形塑性建模的基石(参见，例如[8,9,10,11,12,13]):它使用，其中和分别表示总变形梯度的弹性部分和塑性部分。数量将线元素从参考配置映射到中间无应力配置，从中将这些线元素映射到当前配置。从概念上讲，可以通过变形样品的瞬时卸载(以避免松弛效应)来确定。这些方法的主要目标是制定一个演化方程，该方程既包含仿射贡献(运动学的代表)，也包含描述塑性变形率的贡献(非弹性动力学的代表);值得注意的是，只要不考虑应变/加工硬化，塑性变形本身就不涉及。关于乘法分解的一些关键方面的讨论，特别是与中间构型有关的讨论，可以在[14]中找到。与中间构型相关的一个概念是所谓的自然参考状态[15];关于两者异同的讨论，请参考[15]。在任何一种情况下，弹性变形都是模拟材料在有限变形下性能的基本动力变量。

　　代替弹性变形，我们可以等价地使用所谓的扭曲，它是，的逆。这是[16,17,18]采用的方法。虽然在纯弹性情况下，变形和变形梯度是等效的，但在耗散情况下，变形是有利的，在耗散情况下，变形只反映变形梯度的弹性部分，。耗散实际上可以打破连续体相容条件:变形梯度的弹性部分所映射的构形，在畸变相关文献中称为自然构形，不再作为全局构形存在[19,20,21,22]。例如，在螺位错[23]的情况下就会发生这种情况，其中自然构型具有不连续，因此，我们不能对其求导，并且不存在全局。在位错的情况下，乘法分裂可以通过将变形张量投影到正则部分和包含狄拉克分布的部分[14]得到数学证实。与自然构型相反，当前构型总是存在的，所以我们可以对它求导，并且存在。如果畸变是无卷曲的，其轮廓积分给出自然构型，表示瞬时卸载时的平衡状态[19,20]。然而，如果畸变不是无旋度的(例如在位错的情况下，其中畸变的旋度等于位错密度张量[21,24,25,26,27])，那么积分的结果取决于所选择的特定路径，这意味着自然构型仅在局部定义。

　　对应于弹性变形的动力学(例如，参见[10,11])，变形的动力学可以写成一般形式[17]。

　　(1a) (1b)

　　式中为材料导数，为速度场，和分别为自然构型和电流构型下的塑性变形率张量。

　　如果不考虑非弹性变形，很明显，根据其定义，变形梯度原则上是拉格朗日场，参考位置为虚拟场变量[28,29]。相反，畸变很自然地是欧拉场，而当前位置是虚拟场变量。话虽如此，一旦定义，当然可以将变形梯度及其弹性和塑性部分重新解释为欧拉场(例如，参见[30,31])。然而，当针对欧拉公式建模有限变形非弹性行为时，欧拉畸变简化了描述，因为它只涉及一个映射(从当前到参考构型);相反，例如，欧拉变形梯度是两个映射的组合(从引用到当前构型的映射，但在当前构型中的位置评估)。

　　本文的目标是用材料微观粒子的排列方式来表达连续欧拉变形场，并推导出与底层微观粒子动力学相关的变形动力学方程(1)。虽然这种方法已经在变形梯度方面采取了较早的方法[31]，但据我们所知，它仍然缺乏畸变场。将基于粒子的描述与连续量联系起来是粗粒度和多尺度建模的一个典型例子[32,33]。这样做不仅有利于对连续体模型的基本理解，还有助于设计有效的分层建模策略。

　　本文的发展涉及d维欧几里德空间中的变形，例如块状材料或平面平坦域的变形。为了完整起见，需要指出的是，这里没有处理弯曲空间，例如，曲面，如肥皂泡表面，因为在那里动力学涉及垂直于表面的切空间的贡献[34]。

　　在我们继续之前，先介绍一下记号:离散粒子用希腊索引(，，…)来枚举，而坐标用拉丁索引来标记:小写表示当前构型(i, j，…)，大写表示自然构型(i, j，…)。例如，粒子在当前构型和自然构型下的坐标分别由和给出，而表示畸变张量的一个分量。在接下来的所有内容中，使用了ricci - curbasstro和Levi-Civita[35,36]的张量演算符号。这意味着上标和下标对应于张量的逆变和协变分量是有区别的。在本文中，使用了索引的上/下定位，并且总是理解-没有明确提及-可以通过与适当度量的乘法在两种表示之间转换。粒子指标上的求和总是要详细说明的，而对于坐标上的求和则使用爱因斯坦求和约定，并且求和只允许在一个指标高而另一个指标低的指标对上进行。为了实际的方便，在本文的发展和推导中，使用了由Kronecker delta给出的带有欧几里得度规的笛卡尔坐标(其中上下指标的区别无关紧要)，而不失去一般性。然而，特别是在第6节中，本文的主要结果对广义(曲线)坐标进行了重新表述。最后，对于宏观位置的函数f，为了更好的可读性，通常使用简写符号和。

　　本文的组织如下:第2节首先在更精细的水平上推导出离散粒子位置的畸变场的最佳拟合表达式，然后通过直接计算来检查畸变的可逆(仿射)和不可逆(塑性)动力学。在第3节中，介绍了非平衡可逆-不可逆耦合(GENERIC)框架的一般方程，特别强调了其基于统计力学的粗粒化的系统过程。然后使用该程序分别更详细地检查畸变的可逆动力学(第4节)和不可逆动力学(第5节)。在第6节中，本文的主要结果以协变形式给出，对于广义坐标。第七节得出结论。主要成果在各自章节中总结为“结果”。

　　将基于粒子的方法(例如，分子动力学模拟)与连续介质力学联系起来的一个基本要素是提供基于粒子的变形宏观测量的定义。关于获得应变张量微观定义的最佳拟合(和类似)方法的介绍和讨论，参见[37]。一种常用的方法是由Falk和Langer[38]开发的，其他研究人员也使用了非常类似的方法(例如，参见[39,40,41])，其中粒子在两种不同状态下的构型通过最佳拟合变形梯度相关联。由于只考虑在某个粒子附近的粒子，因此这种最佳拟合变形梯度在这种意义上是局部的(从宏观角度来看)，特别是它是该特定粒子的最佳拟合变形梯度。为了用它来定义宏观变形梯度场，我们可以把所有这些贡献加起来，每个贡献都有一个权重，完全类似于我们如何定义给定粒子质量的质量密度场。这是之前采用的方法[31];然而，它有一个不必要的副作用，即由此定义的宏观变形梯度具有类似密度的特征，并且需要额外的步骤进行适当的归一化(详见[31])。

　　在这里，我们采用另一种方法来寻找基于粒子的畸变表达式。我们不是为某个粒子定义邻域的畸变，然后将其进一步处理为场量，而是直接选择那些在某个宏观位置附近的粒子。具体来说，我们根据Falk和Langer[38]的方法，提出宏观位置的畸变由误差最小化给出，

　　（2)

　　其中有一个定位函数w和两个粒子索引求和(和)在所有粒子上运行。粒子在当前构型中的位置表示为，而瞬时卸载后即在自然构型中的位置表示为;它们的连接向量分别用和表示。权值的引入确保了只考虑两个粒子都处于接近宏观位置的当前构型的粒子对。我们指的是向量范数的平方，其中和分别表示向量的协变分量和逆变分量。值得注意的是，对于畸变的定义，不要求将定位函数w归一化;只是在后面——关于质量和动量密度的定义(第4节)——才需要标准化到统一。在本文中，假设归一化函数满足。

　　在力学方面，自然构型是无应力的，是通过无限快速地卸载当前构型(以避免任何松弛效应，这将是非弹性的)到环境各向同性压力下的状态而获得的。在分子模拟方面，无限快速卸载意味着该过程不应根据物理动力学进行，例如分子动力学(MD)模拟。相反，我们需要考虑适当的能量函数的格局，在这个例子中，吉布斯自由能以压强为变量，并使用相空间的最陡下降来达到这个格局中的局部最小值。这样得到的构型就是我们所理解的离散组成粒子水平上的自然构型。它与所谓的势能景观的“固有结构”密切相关[42,43]。在[44,45]中详细讨论了检验吉布斯自由能图中局部极小值的具体方法。

　　误差Eq.(2)相对于(w.r.t.)失真分量的最小化导致最佳拟合失真，由

　　(3)

　　与

　　(3 b) (3 c)

　　不仅根据其定义，而且从式(3)中的表达式可以明显看出，畸变的右侧指的是当前构型，而左侧指的是自然构型。

　　畸变表达式的以下方面值得注意:(i)畸变表达式不像预期的那样依赖于定位函数w的归一化。(ii)更重要的是，这种畸变表达式是自动归一化的:它不像[31]那样具有类似密度的特征，但仍然是局部的，即它只考虑了宏观位置附近的那些粒子。(iii)只有当附近没有(或者更确切地说:没有足够多的)粒子时，这种畸变表达式才会变得不明确，然而，这是合理的，并且与宏观情景一致。

　　方程(3)是欧拉环境下基于粒子的畸变定义(i)控制了影响区域的大小(通过局部化函数w)， (ii)适当归一化，(iii)仅在影响区域缺乏足够粒子的情况下才定义不明确。

　　变形的可逆动力学描述了当前构型的运动学，而自然构型(即卸载状态)不受影响。因此，畸变方程(3)的可逆动力学完全起源于当前构型中粒子位置的演化。接着，假设粒子动力学可以很好地近似于

　　（4）

　　是速度场。这个近似应该是足够精确的，因为在和中存在核函数，它的乘积是失真。畸变的可逆演变由式给出，其中点表示由式(4)描述的粒子动力学引起的变化率。使用“附录A”中导出的表达式，畸变的可逆演变为

　　（5）

　　右手边的第三个贡献(r.h.s)与其他贡献相比可以忽略不计，因为两个粒子和必须彼此靠近(由于核和)，并且因为，在这个感兴趣的区域，扭曲是通过最佳拟合程序获得的，这意味着

　　(6）

　　因此，变形的可逆演化可简化为

　　（7）

　　这与[22,46]一致，并与总变形梯度的运动学完全兼容(例如，参见[29])。换句话说，基于粒子的畸变方程(3)定义导致了畸变的正确可逆演化。这一结果总结如下:

　　基于粒子的畸变定义(Eq.(3))、近似粒子演化(Eq.(4))以及当前构型和自然构型中粒子位置之间的局部平衡(Eq.(6))导致了对畸变演化的标准可逆贡献(Eq.(7))。

　　如上所述，可逆动力学影响其右侧的畸变，即与当前配置相关的一侧。相反，不可逆动力学预计会影响其左侧的畸变，即与自然构型相关的一侧。这一期望与Eq.(3)一致，因为畸变的左侧与自然构型中的粒子位置有关，通过Eq. (3b)。不可逆(即非弹性)动力学在自然构型中表达得最清楚的概念并不新鲜，但在[11,15]中已经明确提出。

　　为了更具体地说明这一点，我们可以这样做。基于当前构型可逆粒子动力学的式(4)，可以得到。通过类比，可以近似于自然构型中粒子连接向量的纯不可逆动力学

　　（8）

　　具有自然构形下的局部塑性变形率张量。如果假设，仅为说明目的，对于所有粒子对都是相同的，则可以通过直接计算表明，对畸变方程(3)的动力学的不可逆贡献等于方程(1a)的r.h.s.的第二项。虽然这只是第一个动机，但在自然构型中粒子动力学对畸变的不可逆演变的影响将在第5节中进行更深入的研究。

　　摘要

　　1 介绍

　　2 Particle-based畸变法

　　3.方法:不

　　平衡热力学和统计力学

　　4 回顾可逆动力学

　　5 回顾不可逆动力学

　　6 广义坐标变换

　　7 结论

　　参考文献

　　致谢

　　作者信息

　　道德声明

　　附录

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　　#####

　　为了从更广阔的角度来研究变形的动力学，我们利用了非平衡态热力学。虽然多年来在该领域已经开发了许多建模框架，但我们特别选择了非平衡可逆-不可逆耦合(GENERIC)框架的一般方程[47,48,49];这种选择的主要原因是，该框架还附带了粗粒度过程，即用于在不同描述级别的模型之间建立链接，这是本文与失真相关的主要焦点。在下面，根据本文的需要，仅对框架进行非常简明的总结;要了解更多细节，请参考有关GENERIC[47,48]及其粗粒化过程的原始论文[50]，综合书籍[49,51]，或将该框架应用于流体和固体力学的情况，例如[30,31,52]。

　　设为一组基本变量，为其寻找一组封闭的演化方程;参考本文感兴趣的具体情况，可以包含动量密度、质量密度、温度(或内能或熵的密度)和畸变。根据GENERIC，演化方程为[47,48,49]

　　(9）

　　总能量E，熵S，泊松算子和摩擦算子。式(9)的r.h.s.的两个贡献在性质上分别是可逆的(如仿射变形、弹性)和不可逆的(如塑性)。点()不仅在不同元素的意义上表示离散指标的求和，而且在场论的情况下也可以表示连续标签上的积分，例如，将在本文的其余部分中讨论。

　　这两个算子必须满足各种性质:一方面，(L1)必须是反对称的，(L2)必须满足Jacobi恒等式(以保证时结构不变性)，(L3)熵的导数，必须在的零空间，即;另一方面，(M1)必须是Onsager-Casimir对称的，(M2)必须是正半定的，(M3)能量的导数，必须在的零空间，即。可以证明，这六个条件意味着能量E守恒，熵S是时间的非递减函数。

　　涨落-耗散定理[53,54,55]表明，只要有耗散，原则上就有涨落存在;波动是否实际相关取决于具体情况。在GENERIC中，耗散源于摩擦算子的存在。采用随机微积分的It?解释[56,57]，以热力学一致的方式纳入(基于Wiener过程的)波动，将一般方程从Eq.(9)扩展到以下随机微分方程(SDE) [47,49,50]:

　　（10）

　　为玻尔兹曼常数，其中表示多分量白噪声，更准确地说，表示多分量维纳过程的增量[56,57]。式(10)中波动贡献的“强度”与摩擦算符通过

　　(11)

　　这就保证了涨落耗散定理得到遵守。在极限情况下，确定性情况Eq.(9)可以从波动情况Eq.(10)中恢复，同时保持构件E, S，和不变。

　　如前所述，GENERIC框架还可用于在不同级别的描述之间建立关系。想象一下从具有变量的精细级别到具有变量的粗糙级别的粗粒度。2级量的瞬时值可以用1级量表示，粗粒度变量最终为，其中表示具有合适分布函数的平均值[49,50]。与传统统计力学类似，我们可以推导出能量和熵的表达式，并且，基于第一级信息的第二级;由于本文不涉及这方面的内容，因此本文不做简要总结，具体内容请参考[49,50]。

　　第1层的可逆和不可逆动力学也表示在第2层。具体来说，这体现在以下关系上[31,49,50]

　　(12) (13)

　　其中contractions()在一级操作符和。此外，在第2级上可能会有额外的耗散贡献，因为在第1级上明确解决的动力学的一些特征可能在更粗糙(和更慢)的第2级上被视为快速的、不可控的噪声。在这种情况下，在第2层有第二个对摩擦算子的贡献[31,49,50]，

　　(14)

　　它涉及在不同时间点波动对动态的贡献的相关性。数量表示1级和2级之间的分离时间尺度。如果相关函数衰减足够快，Eq. (14a)可以写成[49]

　　(14 b)

　　式中为时间间隔内与波动相关的增量。等式(14b)左边的前因子(l.h.s.)是以下内容的速记符号:由于一般包含几个变量，具有矩阵结构。Eq. (14b)中l.h.s.上的前因子意味着，的每个元素都要乘以一个因子，该因子取决于两个相关变量在时间反转()下的奇偶性，这与Onsager-Casimir互反关系直接相关[58,59,60]。特别地，如果有关的两个变量具有相同的宇称，则前因子等于2，这就是本文将要讨论的情况。

　　[61]中提出了一种稍微不同的GENERIC公式，将摩擦算符替换为耗散势[47]。尽管带摩擦算符的公式比带耗散势的公式[62]更一般(例如，因为算符可能并不总是对称的)，但耗散势很吸引人，因为它与大偏差原理有着密切的联系[63,64]。然而，目前尚不清楚的是，在一般情况下应优先采用哪一种提法。在这里，我们选择带有摩擦算子的公式，因为它包含了统计力学型粗粒化的标准化过程[49,50]。

　　下面两节着重于从离散微观粒子的水平推导变形动力学的可逆和不可逆部分。

　　在继续推导基于粗粒化的畸变动力学(特别是推导算子和)之前，简要讨论了能量E和熵S的一般形式。变量集由动量密度、质量密度、熵密度s和畸变组成，

　　(15)

　　也就是经典的水动力场，被畸变增强。所有的密度都是欧拉型的，即，w.r.t.当前的结构。可以选择另一个热变量来代替熵密度，例如，热力学能密度e，或者绝对温度T;然而，熵密度s被证明是特别有用的，特别是在形成可逆动力学时。

　　E和S的对应表达式为

　　(16a) (16b)

　　其中表示当前配置中的卷元素。内能密度e的具体表达式在这里没有规定，但如果需要的话，可以通过系统粗粒化得到。在式(16)中有两个隐含的假设:(i)在显式动能贡献旁边，剩余的(内部)能量不依赖于动量密度场;(ii)内能密度仅通过基本变量的局域值依赖于基本变量，即忽略非局域效应。做出这种选择只是为了方便，而不是出于需要。

　　由式(16)可知，能量和熵的泛函导数为

　　(17)

　　根据Eqs的说法，它产生了动力。(9)、(10)。顺便提一下，速度(作为位置的时间导数)有一个上指标，相反，它的共轭变量动量(密度)有一个下指标。

　　为了通过粗粒化方法推导出泊松算子(Eq.(12))，二级量的瞬时值需要用微观表达式表示，即，用一级量表示，;对于后者，我们选择所有粒子的位置和动量。畸变的表达式已经在上面的公式(3)中给出，质量密度和动量密度的表达式为

　　(18a) (18b)

　　有粒子的质量和动量，，其中局部化函数w必须归一化为单位，。此时，熵密度的微观表达式没有指定;熵密度将在下面进一步讨论。

　　第一级的泊松括号与泊松算子直接相关，由经典力学中著名的表达式给出[65]:

　　（19）

　　相应的，第2层上的泊松算子Eq.(12)，为了简单起见，我们将其表示为[31,49,50]。

　　（20）

　　其中和是第2层的两个变量，即来自Eq.(15)。

　　从式(20)中可以明显看出，泊松算子的对应元素只有在两个量中至少有一个且依赖于粒子动量时才是非零的。由动量密度(Eq. (18b))、质量密度(Eq. (18a))和畸变(Eq.(3))的微观表达式可知，只有与之相关的列和行有非零项。对于这些条目，根据Eq.(20)进行显式计算，得到如下表达式:

　　(21a) (21b) (21c)

　　式中的近似值。(21a)和(21b)在于利用局域化函数w可以在2级即宏观尺度上用狄拉克函数近似。将变形与动量耦合在一起的元素Eq. (21c)是最难计算的元素，因此，这里只显示了结果，而推导可在“附录b”中找到。值得注意的是，表达式与先前在纯连续体公式[48,49]和粗粒化[31]中使用的表达式一致。

　　剩下要讨论的是与熵密度有关的泊松算子的元素。这个场的可逆动力学是什么?有两种方法可以找到这种动态。第一种方法依赖于总熵不能被可逆动力学改变的要求，这导致泊松算子的简并条件。另一种方法使用粗粒度，类似于我们在其他领域所做的;然而，这需要用一些微观变量来定义熵密度。特别是，我们可以从Liouville n粒子分布函数开始，用BBGKY层次中的单粒子和双粒子分布函数来表示局部熵密度[66,67]。虽然与第一种方法相比，后一种方法更符合粗粒化的精神，但它会使泊松算子的推导更加复杂，从而偏离本文的主要目标，即基于粒子的失真方法。因此，我们将采用第一种(更简单的)程序。熵守恒可以用与质量守恒相同的方式表述，这意味着耦合熵和动量的泊松算子的分量为[49]

　　(21 d)

　　质量密度完全类似于式(21b)。

　　总之，泊松算子完全由Eq.(21)中的元素指定，并利用其反对称性质，而所有其他元素都为零。可以证明，该泊松算子与之前用于畸变动力学的泊松括号一致[46,68]。因此，泊松算子的推导可以总结为以下结果:

　　基于粒子的质量和动量密度定义，Eq.(18)和畸变Eq.(3)，结合粒子的Hamilton正则方程，导致了Eq.(21)中的泊松算子，除了Eq. (21d)，它是从不同的论证中得出的。这个泊松算子与文献中的早期发展相一致[46,68]。

　　根据泛型Eq.(9)，由Eq.(17)中的能量导数给出的演化方程的可逆贡献，在处求值，以及由Eq.(21)中的元素给出的泊松算子及其反对称性，具有积分，为

　　(22a) (22b) (22c) (22d)

　　With和，and。柯西应力张量由

　　(23)

　　具有静水压力

　　(23 b)

　　变形的演变，公式(22d)，已经写成了两种等效形式:第一个明确地表明演变取决于变形的旋度，而第二个突出了平流和变形的分裂。虽然畸变可以被认为是从当前构型到自然构型映射的梯度，但它并不需要是无旋度的，因为自然构型不需要作为全局定义的流形存在[16,20,22]，参见第1节。此外，如果我们去掉旋度项，我们将违反进化方程的伽利略不变性[46]。旋度项对于Jacobi恒等式的有效性也很重要，如果没有旋度项，Jacobi恒等式将不再无条件有效[46]。

　　为了证明应力张量Eq.(23)是对称的，在当前构型中，热力学势e必须不随旋转而改变。这意味着e仅通过(弹性)右柯西-格林变形张量()的逆依赖于变形，具有逆变分量。这样，柯西应力张量Eq.(23)变为

　　(24)

　　这使得第二个贡献的对称性也很明显。

　　由式(22d)描述的变形演化与文献[22,46,68]的早期结果一致，也完全符合变形梯度的运动学[29,52]。此外，应力张量Eq.(23)与先前基于变形的公式[22,46]一致，并且在将应力张量改写为变形梯度(弹性部分)后，发现Eq.(23)与[11,28,29,30,31,52]的结果一致。

　　利用由Eq.(21)给出的粗粒度泊松算子及其反对称性，以及能量的导数Eq.(17)，我们发现，根据泛型Eq.(9)的演化方程的可逆贡献由Eq.(22)与Cauchy应力张量Eq.(23)给出，这与文献[11,22,28,29,30,31,46,52,68]完全一致。

　　如果精细层次的描述，即离散粒子的描述，本身没有不可逆动力学，则粗糙层次上的摩擦算符只包含波动形式的贡献式Eq.(14)，而不存在形式Eq.(13)的贡献。就涨落而言，由于总能量守恒，涨落必须满足约束[49,50]

　　（25)

　　在接下来的文章中，我们只关注作为对动力学唯一不可逆贡献的变形的松弛，从而忽略了热传导和其他不可逆过程。可以合理地假设，变形的松弛不影响质量和动量的平衡。因此，由式(25)可知

　　（26）

　　如果引入缩写，并且假设条件Eq.(26)满足点态，则可以用畸变的波动来表示熵的波动，

　　(27)

　　利用摩擦算子的一般涨落公式Eq. (14a)，结合涨落之间的关系Eq.(27)，粗粒度摩擦算子的所有非零元素都可以与其-元素相关，即

　　(28a) (28b) (28c)

　　由其构造可知，满足式(28)限制的摩擦算子符合简并性条件(在处求值并对其进行积分)，即总能量不受不可逆动力学的影响。

　　为了通过粗粒化推导出摩擦算子的剩余元，我们需要一些关于颗粒级不可逆动力学的信息。在目前的情况下，这与自然构型的纯不可逆动力学有关，其中塑性效应最自然地表现出来(参见[11,15])。前进的方向一般取决于这种动力的形式，特别是是否只有小波动或也有大波动发挥作用。由于自然构型是在瞬间卸载当前构型(在一定边界条件下)后获得的，因此表示能量景观中的局部最小值[69]。因此，自然构型的演化可以想象为局部极小值之间的跳跃过程[70,71]。如果这些跳跃是罕见的事件，粗粒度过程需要适当地反映这方面[72,73]。在下文中，为了说明，我们假设，采用随机微积分的It?解释，采用带有乘性噪声的SDE形式，[56,57]。

　　(29)

　　和都可以是粒子排列的函数。符号代表维纳过程的增量，具有以下属性

　　30 (30) (b)

　　第二个矩的方程(30b)是的组件表示。

　　波动对畸变动力学的贡献可以通过式获得，其中由式(29)的r.h.s.的第二项给出。由此，摩擦算子Eq. (14b)的粗粒化表达式为

　　（31)

　　在这里，我们利用了(30b)式。方程(31)描述了自然构型(29)中的粒子动力学如何在粗粒度水平上产生耗散。通过取平均值，Eq.(31)将变成粗粒度变量Eq.(15)的封闭形式表达式。

　　为了通过解析计算将式(31)转化为封闭形式表达式，考虑一种特殊情况，即

　　(32)

　　为了便于分析的进一步步骤，选择用当前配置中的信息来表示系数;直观地，人们可以将依赖于视为通过式(6)的依赖于，此外，依赖于允许将依赖于在粒子位置评估的变形的依赖结合起来，例如，编码应力依赖动力学。关于Eq.(32)，我们注意到它只依赖于粒子，这在物理上是直观的。然而，当在式(31)中对粒子进行双求和时，由于局部化函数w的存在，粒子位置可以分别用宏观位置和代替。这样可以看出，在Eq.(31)的r.h.s.上，第一个括号中的表达式可以近似为，同样，Eq.(31)中的第二个括号也可以近似为。有了这一点，并使用Eq.(3)的失真，Eq.(31)显着简化。如果统计平均值是随机取的，那么一个分布在失真中是微规范的(即，成比例)，平均值内部可能被平均值所取代，并从平均值中取出，这导致

　　(33)

　　的相关函数定义为

　　(34)

　　相关函数Eq.(34)建立了自然构型中粒子排列的演化与Eq.(29)和Eq.(32)以及粗粒度摩擦算子Eq.(33)之间的联系，其中粗粒度摩擦算子Eq.(33)引起变形的塑性松弛。

　　在下文中，我们将研究相关函数的两个示例。

　　为了说明，最简单的分析是，在不同的位置和不同的方向上完全缺乏相关性。

　　(35)

　　其中标量函数z表示相关性的总体强度。-dynamics的两种可能实现，即Eq.(29)和Eq.(32)，其相关性由Eq.(35)给出

　　（36）

　　在这两种情况下向量场必须满足的地方

　　（37)

　　在“附录C”中讨论了一些可能的选择。

　　例2作为第二例，考虑晶体塑性;关于介绍，请参见，例如，[74]。用滑动方向和滑动面法线来描述塑料滑动系统，两者都具有单位长度。这两个向量在物理上是相关的，因此应该出现在三阶张量的表达式中;我们需要第三个向量，现在我们称之为。由于希望向量和有助于在Eq.(33)中关联函数Eq.(34)的索引结构，并最终有助于粗粒度动态，因此后一个向量必须放在和之间。也就是说，的指标在相关函数Eq.(34)中进行了收缩。相关函数的一类命题由

　　(38)

　　Where是一个未知的矢量，它被放置在左边，以便只允许在滑翔方向上波动。如果选择，例如，通过Eq.(37)定义，则反式Eq.(38)导致

　　(39)

　　式中D表示空间维数。

　　下面将讨论这两个相关函数的例子对不可逆动力学的影响。

　　根据GENERIC Eq.(9)，由Eq.(17)中的熵导数给出的演化方程的不可逆贡献，在，以及由Eq.(28)中的元素给出的摩擦算子。(33)和式(34)的积分是

　　(40a) (40b) (40c) (40d)

　　式中，塑性流动驱动力和自然形态下的塑性变形率张量(参见式(1a))由

　　(41) (42)

　　可以看出，除各向同性(流体静力)贡献外，式(41)实际上等于曼德尔应力[75];然而，这种差异可以追溯到我们使用和作为独立变量。在Eq. (40c)中，根据Eq.(34)的性质，由于被积函数的对称性和正性，熵不等式明显得到满足。演化方程中不可逆贡献的一般结构，如Eq.(40)，与早期关于耗散畸变动力学的工作相一致[22,46]。

　　文献[9,11,12,13,15,31,76]充分证明了曼德尔应力[75]作为大变形塑性建模的相关量的重要性。在非平衡热力学背景下，自然构形中的曼德尔应力和塑性变形速率张量形成了相关的力-通量对，这一事实在前面已经被注意到并利用了[9,11,12,13,15,31,76]，也由式(40c)和式(42)中的第二个方程表示。

　　变形的不可逆动力学的具体形式取决于所考虑的例子，如下所示。

　　例1:利用相关函数Eq.(35)，自然构形下的塑性变形速率张量为

　　(43)

　　其中可能是曼德尔应力的函数。用当前形态的塑性变形速率张量来重写表达式Eq.(43)可能是有用的，这通常用于非晶固体的建模。基于式(1)中塑性变形不同表示形式的等价性，可以发现

　　(44)

　　这里，是(弹性)柯西变形张量的协变分量，后者也被称为Piola张量或Finger张量;其中为弹性左柯西-格林变形张量。由式(44)可知，只有当柯西应力张量与柯西变形张量交换时，其指标结构才与柯西应力张量(柯西变形张量的非静力部分)成正比。后一种情况在模拟各向同性材料的塑性时是标准的，参见[22,30,77,78]。

　　例2:利用相关函数Eq.(39)，自然构形下的塑性变形速率张量为

　　(45)

　　其中括号中的表达式为分解剪应力[8,74]。塑性变形速率张量的这种形式与标准文献[8,10,74,79]一致，其中动力学系数可能是曼德尔应力的函数。

　　使用由Eq.(28)和Eq.(33)给出的粗粒度摩擦算子以及熵Eq.(17)的导数，可以发现(i)根据GENERIC Eq.(9)对演化方程的不可逆贡献由Eq.(40)给出，与文献一致(详见上文)，(ii)曼德尔应力Eq.(41)和自然位形Eq.(42)中的塑性变形速率张量形成了塑性变形的相关力通量对。(iii)第5.1节中介绍的例1和例2。(35) -(39))为文献中常见的模型提供了基于粒子的表示。

　　在以上关于塑性的讨论中，没有特别注意变形决定因素的演变。虽然质量密度被选为自变量，并且不受式(40)中不可逆动力学的影响，但讨论失真的决定因素保持恒定的条件可能是可取的。下面将详细讨论这方面的内容。为简单起见，本小节忽略了对动力学的可逆贡献。

　　首先，考虑畸变随增量的动态是确定性的情况，即不存在波动的情况。要求畸变的行列式保持恒定，可将其纳入条件。，这个条件可以写成

　　(46)

　　为便于说明，考虑公式(1)中表示的变形的不可逆动力学，以塑性变形率张量表示，无论是在自然构型还是当前构型中。条件Eq. (46a)意味着两个塑性变形率张量的轨迹必须消失。对于进一步的过程，对于用泛型方程(9)表示动力学的情况，表示条件Eq. (46a)是有用的;在这种情况下，可以证明式(46a)的形式为

　　(46 b)

　　顺便提一下，另一种讨论不可压缩性的方法已经引入了投影算子[30,31];然而，方程(46)中的条件对这里的讨论更有用。

　　如果动力学的畸变，确实包含波动，则需要对上述讨论进行修正。一般可以认为，只要存在摩擦算子，原则上也可以存在波动，如式(10)所示。在目前的情况下，畸变动力学的波动与自然构型中粒子排列的波动有关。根据第5.1节的处理，因此假设失真动态可以用基于Wiener过程的SDE来描述[56,57]。从畸变的确定性动力学出发，向带有波动的SDE的扩展完全类似于[80]中的处理，详细内容请参阅该论文。一旦确定了畸变动力学的SDE，可以得到的变化如下:利用It?的随机微积分公式[57,81]，可以发现

　　(47)

　　在哪里和已经使用;在对式(47)的r.h.s.的第二个贡献中，根据It?的方案(参见[57]中的表3.1)，只需要包括和减少波动。经过简单而漫长的计算，关键的观察结果是，方程(46b)不仅是确定性情况下不可压缩的必要条件，而且是确保平均不可压缩的充分必要条件。

　　(48)

　　即使在存在波动的情况下。因此，我们可以利用条件式(46b)作为验证或加强变形动力学中的不可压缩性的手段。

　　现在的问题是，如何在自然构型的粒子动力学水平上实现摩擦算符的不可压缩性条件，公式(46b)。为此，考虑畸变动力学方程(33)是有指导意义的。将式(33)与(乘法只是为了方便，不会失去一般性，因为它是可逆的)相乘，得到必要条件(注意隐式求和)，

　　(49a) (49b)

　　其中Eq. (49b)直接由Eq. (49a)和相关函数Eq.(34)的对称性推导而来。

　　条件Eq.(49)直接影响了自然形态下塑性变形速率张量与曼德尔应力之间的关系式Eq.(42):首先，Eq. (49a)的结果是，这是众所周知的确保塑性变形不可压缩的公式(参见，例如[11,15])。其次，式(49b)表明，它对曼德尔应力中的各向同性贡献不敏感，这反过来意味着不可压缩塑性变形的真正驱动力仅是曼德尔应力的偏态部分(参见，例如[11,15])。

　　本节通过检查不可压缩性对前面介绍的两个示例的影响来完成。

　　例1:Eq.(35)规定的相关函数不满足Eq. (49a)的不可压缩性条件。为了将不可压缩性编码到相关函数中，必须对Eq.(35)进行如下修正:

　　(50)

　　这可以通过直接计算来验证。有待确定的是满足式(50)的具体表达式。为此，我们利用前面介绍的向量，满足条件Eq.(37)。直接计算可以看出，下面两个表达式是对式(36)的修正，即式(50)的解:

　　(51)

　　对于这两个表达式，因此，条件式(49a)在强烈意义上是满足的，即，甚至不需要对所有粒子求和，也不需要求平均值。

　　例2:根据式(38)，可以直接得出

　　(52)

　　因为滑翔方向总是垂直于滑翔面法线。反过来，这意味着条件Eq. (49a)自动满足，相应的摩擦算符单元确实如预期的那样正确地考虑了滑移引起的塑性变形的不可压缩性。

　　对于具有波动的GENERIC框架中描述的畸变动力学，Eq.(10)，条件Eq. (46b)确保畸变的行列式平均不受畸变松弛的影响。这个条件转化为相关函数的Eq.(49)，它反过来又限制了自然构型中粒子排列的动力学，Eq.(29)和Eq.(32)。这在第5.1节中介绍的例1和例2中得到了说明。(50)(52)。

　　虽然前几节中的过程使用了笛卡尔坐标，但本节的目标是提供关于如何在广义(曲线)坐标中表达主要结果的指南，即畸变Eq.(3)，对演化方程Eq.(22)的可逆贡献与应力张量Eq.(23)(和Eq.(24))，不可逆贡献Eq.(40)与曼德尔应力Eq.(41)和自然构型Eq.(42)中的塑性变形率张量。以及5.3节中关于不可压缩性的讨论。除了广义坐标的使用外，还有四点需要讨论。

　　第一点:无论克罗内克函数在哪里出现，分别是两个指标都向上或两个指标都向下，它们都需要用合适的度规来代替:，，，和，其中所谓的欧拉度规和所谓的物质度规分别表示当前和自然构型中的度规。此外，每当在相应的配置中提高或降低索引时，也将使用这些指标。虽然欧拉度规的存在有助于保持方程的协方差，但物质度规是必要的，例如计算能量。这两种度量(欧拉度量和物质度量)作用于不同的流形，这意味着它们通常是不同的[28]。如果流形既没有曲率也没有扭转，使用Levi-Civita连接[82]，我们可以选择这样的坐标系，即度量是常数(根据Frobenius定理[83])并且等于单位矩阵[84]。材料度规已经在[85]和[86]中引入，用于预应力材料的建模，并用于时空兼容性原因。

　　第2点:偏导数w.r.t.一个空间坐标，需要表示为协变导数，包括克里斯托费尔符号，见[35,36,87]一般情况下，在力学的背景下也是[11]。很明显，协变导数在笛卡尔坐标系中简化为偏导数。

　　第三点:即使在广义坐标下工作，也建议用笛卡尔坐标系下的单位体积元w.r.t.来解释密度。然而，这意味着，在对密度进行积分以获得相应的外延量时，需要考虑(行列式的平方根)度规。

　　第4点:由于以下原因，在笛卡尔公式中保持变形方程(3)的定义可能就足够了。由于定位函数的存在，感兴趣的区域在宏观尺度上很小;在这个感兴趣的区域，可以引入一个局部笛卡尔坐标系作为合理的近似。

　　值得注意的是，特别是对于第1点和第2点，在本文中系统地使用Ricci-Curbastro和Levi-Civita[35,36]的张量演算符号是有益的，并且在适当的指标定位下使用了Kronecker delta。

　　在本文中，我们引入了基于粒子的欧拉扭曲场定义，方法是在一定的影响区域内使用最佳拟合过程，其中后者可以由定位函数控制(参见第2节)。具体而言，最佳拟合失真Eq.(3)被定义为误差Eq.(2)的最小值，该误差Eq.(2)分别测量自然构型和当前构型中距离之间的差异。

　　虽然在第2节中通过直接计算对畸变的动力学进行了简化分析，但需要从微观动力学中以系统粗粒化的形式进行更彻底的分析，特别是为了更多地阐明畸变的不可逆动力学。换句话说，第2节的简化观点通过使用GENERIC框架及其粗粒度过程变得更加精确，如第3节所总结的那样。在GENERIC中，进化方程由可逆(哈密顿)部分和不可逆(耗散)部分组成，其中所有相关的构建块都可以用线性级信息表示。通过这种方式，在第4节和第5节中通过粗粒化推导出了质量、动量和熵的畸变和密度的演化方程。关于演化方程的可逆贡献(第4节)，基础泊松算子Eq.(21)已经从经典粒子的正则泊松算子中导出。

　　在第5节中，对畸变的不可逆动力学的出现进行了详细的研究。具体来说，畸变的松弛——非弹性/塑性变形的代表——与组成粒子的基本动力学方程(29)有关，该方程由摩擦算子方程(28)用方程表示。(33)和(34)。无论考虑何种材料，已经确定曼德尔应力是变形松弛的相关驱动力。通过非晶态各向同性固体和单滑移晶体两个实例，说明了不可逆动力学的粗粒化过程。最后，研究了变形弛豫的不可压缩性不仅在粗粒连续体水平上，而且在组成粒子的细粒水平上是如何表达的。

　　在下面，确定并简要讨论了未来工作的四个方面。

　　展望1:本文的结果不仅可以用于分析基于粒子的模拟(例如，原子或稍微粗粒度的，所谓的统一原子的分子动力学模拟)在提取畸变场方面的结果，而且还可以用于研究最终获得摩擦算子的精细尺度动力学的快速贡献(详见第5节)。在这方面，至关重要的是检查波动是否可以像第5节讨论的那样用随机微分方程(SDE)充分表示，或者是否存在相当罕见但大的事件[88]，后者将需要其他粗粒度方法(例如，参见[72,73])。一个同样重要的问题是不同层次描述之间的时间尺度分离问题;缺乏时间尺度的分离(如观察到的，例如在位错体系[89]中)使粗晶粒变得更加复杂。

　　展望2:为了解释变形的实质性不均匀性，有人提出让应变能不仅取决于变形本身的某一度量，而且取决于其梯度，参见，例如[90]。如果变形的度量是由欧拉变形给出的，这意味着应变能不仅取决于变形，还取决于它的偏导数w.r.t.空间坐标，

　　(53)

　　原则上，可以计算为失真的偏导数，一旦后者根据2.1节确定。然而，特别是当我们对离散-连续关系感兴趣时[90]，最好直接从粒子的排列中获得，类似于公式(3)的畸变。这实际上可以通过遵循[41]或[91,92]中开发的过程来实现，如“附录D”所述。虽然遵循[41]会导致一个固有对称的表达式，但[91,92]中采用的方法更为通用，请参阅“附录D”了解详细信息。在任何一种情况下，将本文中导出的动力学结果扩展到两者(如“附录D”中导出的)都是独立动态变量的情况可能会很有趣。

　　展望3:在第1节中提到，在存在不可逆变形的情况下，畸变通常是不相容的，即不是无卷曲的。在位错情况下，变形的旋度与位错密度张量[21,24,25,26,27]和Burgers张量[16,46]有关。这种关系实际上已经在[91,92]中成功地用于检测基于离散粒子(即原子)的构型的位错。人们可能想知道，即使对于更广泛的系统，变形的旋度是否是检测塑性变形载体的有用工具。通过Eq.(53)，变形的旋度(以笛卡尔坐标表示)为

　　(54)

　　与列维-奇维塔的排列符号(取值，0,1);推广到广义坐标只需要在Eq.(54)[36,93]的r.h.s.上引入前因子，其中g表示当前构型度规的行列式。根据展望2，在粒子水平上应用Eq.(54)有两种可能性:在通过2.1节中的最佳拟合程序获得失真后计算失真的空间导数，或者利用最佳拟合程序直接获得失真本身(如“附录D”所述)。在后一种情况下，下面的方法[41]导致旋度消失(由于)，因此不足以讨论不相容。相反，应该使用如下[91,92]的方法。然而，虽然[91,92]提出了一种两步(即顺序)的方法来计算变形及其导数的最佳拟合度量，但正如[92]的讨论部分简要提到的那样，值得探索一步(即同时)方法的选择。无论使用何种程序来确定变形的(不消失的)旋度，都强调没有关于缺陷结构的先验假设进入该确定;相反，它直接处理当前和自然配置中的粒子排列。如果得到的这两种构型之间的映射结果是不相容的，人们可以使用畸变的旋度作为检测缺陷的工具，特别是位错，如[91,92]所示。

　　展望4:正如在第1节中提到的，本文处理平面空间。相反，当研究具有曲率的空间时，需要额外的注意，并且可能需要对本文中开发的程序进行修改。这是因为我们找不到一个参数化使得度规的分量处处都等于克罗内克。

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